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因此，承认作为变量的潜无穷，就必须承认实无穷．变量如能取无穷多个值，就必须有一个预先给定的、不能再变的取值“域”，而这个域就是一个实无穷．康托尔又指出，数学证明中应用实无穷（无穷集合）由来已久，并且也是不可避免的．后来的数学家们，如J．L．拉格朗日（Lagrange）、A．M．勒让德（Legendre）、P．G．L．狄利克雷（Dirichlet）、柯西、魏尔斯特拉斯、B．波尔察诺（Bolzano）等人在证明中都使用过．康托尔还举出一个复杂证明的例子（＇8＇，pp．210—212）：假设把一无穷点集分为有穷个子集，其中必有一个为无穷集．
　　2）不能把有穷所具有的性质强加于无穷
　　无穷有其固有的本质．尽管康托尔对无穷集合的研究出于数学研究的实际需要，但是他仍然面临着怎样对这种研究的合理性作出说明的问题．尤其重要的是，他必须对历史上提出的各种关于“实无穷不能成为数学的研究对象”的“论证”作出合理的解释．
　　1874年，康托尔在这方面迈出了关键性的一步．他提出了“一一对应”原则：如果在两个集合的元素之间能建立一一对应，就说这两个集合具有相同的基数，即在数量上被认为相等．这个原则构成了对传统的“整体大于部分”观念的直接否定．然而，在康托尔以前，由于这一观念的束缚，使很多数学家认为实无穷性的概念不能成为数学的研究对象；现在，康托尔则大胆地冲破了这一思想桎梏，并由此发展出一套关于无穷集合的数学理论——超穷数理论．对此，康托尔解释说：“两个集合，其中的一个是另一个的部分，而又具有相同的基数，这是经常会出现的，而且也没有什么矛盾．我认为，正是由于对这一事实缺乏认识，才形成了关于超穷数引进的主要障碍．”（＇17＇，p．75）
　　为了更清楚地说明自己的研究工作的合理性，康托尔还曾对各种相反意见的错误根源进行分析，认为一切关于“实无穷不可能”的所谓证明都是错误的．
　　3）有穷的认识能力可以认识无穷
　　康托尔在《关于无穷线性点集（5）》里还讨论了J．洛克（Locke）、B．斯宾诺莎（Spin…oza）和G．W．莱布尼茨（Leibniz）的观点．他认为，这些人的思想虽有很多不同之处，但在无穷问题上，一致认为：“有穷性是数的概念的一部分；另一方面，真正的无穷，那就是上帝，是不允许有任何规定的．”反对实无穷的人还有一个理由是，人类认识能力是有限的，所以形成的数量只限于有穷．
　　康托尔认为，人的认识能力虽然有限，却可以认识无穷．无穷和有穷一样，是可以“通过确定的、明确的、彼此不同的数量”来表达和理解的．在一定意义下，也可以说人们有“无限的才能”，一步一步地去形成更大的数类或集合，去形成一个比一个更强的基数．
　　康托尔还强调，数学的无穷与哲学的及神学的无穷不同．超穷数可以增添，这是数学的无穷，与宗教和上帝无关．哲学上的绝对与神学上的上帝都不能被规定，“一切规定都是否定”，因之也不能增添．
　　康托尔还强调，数学的无穷与哲学的及神学的无穷不同．超穷数可以增添，这是数学的无穷，与宗教和上帝无关．哲学上的绝对与神学上的上帝都不能被规定，“一切规定都是否定”，因之也不能增添．他又说，人们可以有坚定的信念必然能够认识那“绝对的存在”．（＇10＇，p．280）
　　但是，究竟应当怎样来认识超穷数和无穷集合的客观实在性呢？为了解决这一问题，康托尔最后倒向了神学．
　　http：//blog。csdn/pongba/archive/2006/10/15/1336028。aspx
　　刘未鹏的博客，很有思想
　　http：//post。baidu/f？kz=173393378bdxox原创
　　虞美人量子版
　　量子超旋何时了，
　　概率知多少，
　　霍金昨夜又发疯，
　　波包不堪回首坍塌中，
　　盒中小猫应犹在，
　　只是生死改，
　　问君能有几多愁，
　　恰似茫茫银河天际流。
　　http：//cbe21/subject/maths/html/040301/2001_01/20010109_526。html
　　中国基础教育网
　　由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果（称为“悖论”），许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。在1874—1876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战。他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后来几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论。
　　康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂。有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”。来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。
　　真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩。1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。1918年1月6日，康托尔在一家精神病院去世。
　　http：//baike。baidu/view/34072。htm罗素悖论
　　——悖论可以存在于我们的思维却不容于逻辑，哪里出错？其实，马克思的哲学可以解决这些，但不是从根本上解决，最多提供一种新的思路和处事方法，精通马克思的哲学并精通数学的人可以研究一下。不要走火入魔就行。
　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
有支持才有动力
　　书号145052，《短篇穿越历史小说集》，多鸟的名字。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
算不得结尾的结尾
　　
　　先讲一个自编的笑话（不笑我也没办法）。
　　话说有几只蚂蚁经常出入某国红灯区，天长日久耳熏目染，终于决定向蚁后摊牌。但它们蚁少力单，还不够蚁后的一个卫士划拉，于是，有一只蚁称南柯智多星的蚂蚁出谋献策道：“我们买一些片子回去吧。”受到它的启发，另一只蚁称北山愚者的蚂蚁也提议道：“我们再拷点小说回去效果更好。”
　　问题是，蚂蚁洞里怎么能够放影碟看网文呢？南柯智多星很不满意其他蚂蚁抢它的风头，这个时候晃着头上的触须一副“看你们怎么办”的拽样。愚翁说：“我们蚁多力量大，把那些东西拆零后运回洞｜穴再组装起来。”
　　问题是，怎么拆怎么装怎么保证能够使用呢？智多星受够了一众蚂蚁的溢美之词和牛X马屁，慢条斯理地说：“笨啊，搬不走不会让它们过来吗？”
　　于是，一个月后，该国红灯区内到处都是蚂蚁，黑的，白的，红的，使得红灯区的生意受到极大影响。一时间，世界各国报纸头版以不同标题刊登了同样的消息：“蚂蚁聚会红灯区”、“蚁群惊现X国红灯区”、“蚂蚁改良了社会风气”等等。
　　再一个月后，该国政府鉴于税收减少，开始展开大规模的灭蚁运动。
　　很不幸，身体孱弱的智多星在这次运动中壮烈牺牲，临死之前，留下遗言：“能就是能，不能就是不能。”同样不幸的是，没有蚁懂它的话。
　　但是，智多星的提议还是起了效果的，众蚁经过一个月的实战观摩和信息交流都变得情绪高涨，在各自种族的智者号召下这一天齐聚在下水道开会。
　　由于最先发起号召的蚂蚁中只剩下北山愚者有些名气，也作为与会的主要代表参加了会议。
　　会议的气氛相当激烈，前期讨论由于蚁多信息混杂这里就省去不写了。
　　会议后期，各主要代表发言。北山愚者首先提议大家为智多星默哀一蚁米（蚂蚁爬一米所用时间），然后庄严宣布：“我号召大家分工协作，啊，分工协作是我们蚁族的优良传统，分工协作干什么呢，我们要有自己的发电厂、电视机、电脑和网络，而这绝对不是任何一个蚁群可以单独完成的，我号召大家分工协作，全世界的蚂蚁齐心协力地合作，向人类学会这些技术。”
　　红蚂蚁代表有点弱弱地问：“我们学这些技术干什么呀？”
　　北山愚者：“让全世界的蚂蚁都可以看到那些人做的事情呀。”
　　红蚂蚁代表继续问道：“为什么要让所有蚂蚁都看到那些事情啊？”
　　北山愚者：“这样全世界的蚂蚁才会联合起来完成建造电厂电视机厂电脑厂的任务啊。”
　　蚂蚁们愣了半天，齐齐发出长长的嘘声。
　　北山愚者奇怪地问：“我说的不对吗？”
　　其他蚂蚁都不理它，开始小组讨论阶段。
　　最后，蚂蚁们决定成立一个联合组织，称作蚁盟。蚁盟的使命是：让每个蚂蚁都成为蚂蚁王国的主人，向蚁后施压要求蚁后增加新蚁后的数量，向其他地区的蚂蚁宣传蚁盟宗旨并争取其入盟。
　　北山愚者闷闷不乐：“这样行得通吗？”
　　蚁盟组织军队击败了蚁后的卫队，把蚁后养的小白脸碎尸万段，要求其增加蚁后数量，使蚂蚁王国实现蚁蚁得享嘿咻之乐的伟大目标。
　　蚁后当然没有别的选择，蚁后对带头的蚂蚁领袖说：“你们谁先来？”
　　这时，蚂蚁大军全体成员都愣住了。
　　它们被那些AHXR等等搅扰的蚁血沸腾，竟然忘记了一个最最重要的事情：它们没办法做。
　　蚁盟首领得到消息后同样震惊，连忙下令挑选飞毛腿蚂蚁前去追赶已经派出到其他地区搞串联的蚁盟成员。
　　又是一个月，这个国家的蚂蚁全都陷入了恐慌混乱之中。它们的蚁后没了雄蚁这些“吃软饭”的家伙，再不能生育了。
　　蚁盟的合法性受到严重质疑。一场暴动蓄势待发。
　　北山愚者这时站出来提议道：“根据我的长期观察，有些人类并没有能力做，但它们还是在做，这一点值得我们学习。”
　　蚁盟的蚂蚁都傻眼了，什么时候又多了一个智多星，怎么说的话我们都不懂啊？
　　北山愚者很得意：“你们听说过太监这个词没有？”
　　蚁头大摇：“没听过。”
　　北山愚者：“其实，这个词本该消失的，但是，由于写网络小说的那帮人经常在即将高潮时下面没了，所以这个词就又出现了。太监，就是下面没有的意思。”
　　嘘嘘嘘嘘！
　　北山愚者：“肃静！肃静！”
　　红蚂蚁代表问：“我们没办法做，也没高潮算不算太监呢？”
　　北山愚者：“你怎么总问一些这样的问题！呃，不算。”
　　“那么，太监和我们有什么关系呢？”
　　北山愚者大怒：“你们听我说完好不好！哼，我最近一直在作研究，你们不想听就算了。”
　　它也开始摆谱。
　　大黑蚂蚁代表和小黑蚂蚁代表狠狠训斥了红蚂蚁代表，恭敬地向北山愚者请教：“除了智多星就数您见多识广博闻广志，您就告诉我们该怎么办吧。”
　　北山愚者说：“我们虽然不算太监，但我们的处境和太监是一样的，为什么会这